灰色模型的简介

1. 灰色模型的简介

灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。从灰色系统中抽象出来的模型。灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与运筹学数学方法相结合的结果。　　如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。

2. 灰色模型的介绍

如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称GM模型，它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。

3. 灰色模型的优点

4. 灰色系统模型

灰色系统理论是在20世纪80年代初被提出并发展推广应用的。实际上，灰色系统是黑箱理论的一种推广。黑箱理论认为系统内部结构、参数、特征等一无所知，只能从系统外部的输入、输出信息来研究。如果一个系统的内部特征全部确知，那么这个系统就是一个白箱，我们可以根据系统内部的信息建立各种模型进行研究。灰色系统就是介于“黑”、“白”之间的，或者说灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。
灰色系统作为系统科学的一个分支，正处于发展时期。灰色系统理论包括了关联分析、灰色模型、灰色预测决策、灰色优化控制等等。这里就灰色理论在水文地质学中较常应用的几个方面着重进行介绍。
一、关联分析
关联分析事实上是动态过程发展态势的量化比较分析。关联分析的实质是几种曲线（代表着相应的变量）间的几何形状的比较分析，即认为几何形状越接近，则发展变化的态势越接近，关联程度就越大。这种分析对数据量没有太高的要求。利用作图的直观方法，也可看出几种曲线的形状变化，但只能是定性的，不能够定量化。
作关联分析时，先要指定参考的数据列x0，被比较的数据列常记为：x1，x2，…，xn

现代水文地质学

关联系数的计算公式为：

现代水文地质学

式中：i为比较数列的个数；k为时段；ξi（k）是第k个时刻比较曲线xi与参考曲线x0的相对差值，称这一差值为xi对x0在k时刻的关联系数。上式中ζ是分辨系数，一般取值范围为（0，1）。这样一来，就可以分别求得i个比较曲线与参考曲线的关联系数。在实际应用中，在计算关联系数之前，当各数据列所代表的变量的量纲不同时要进行无量纲化处理，而且要求所有数列有公共交点。为了解决这一问题，应对各数列进行初值化处理。具体作法是用每一个数列的第一个数去除其他数。
由于关联系数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有必要将各个时刻关联系数集中为一个值，故引入关联度ri：

现代水文地质学

这样，通过各比较曲线与参考曲线关联度的比较，就可定量地分析变量间的关联程度。
二、优势分析
若参考序列不止一个，比较序列也不止一个，可分别计算所有序列间的关联度，构造关联度矩阵，通过对矩阵中元素大小的分析，找出优势因素和劣势因素。
设有n个参考序列，m个比较序列：

现代水文地质学

则每一个母因素对每个子因素都有关联度，用rij表示与xj的关联度，则有：

现代水文地质学

R中每一行表示同一母因素对不同子因素的影响，每一列表示不同母因素对同一子因素的影响。如果R中第j列的各个子元素大于其他各列的相应子元素，则称子元素xj相对于其他因素为最优，即xj为优势子因素；若R中第i行的各元素均大于其他各行的相应子元素，则称母元素为优势因素。
三、生成数
在水文地质系统的研究中，不少因素都存在着随机性，如降水补给、地下水的污染等等。处理随机因素一般用数理统计方法寻找概率分布或统计规律。而灰色理论则是用数据处理的方法来找数据间的规律。一般称某种数据的处理方式为生成方式。
灰色系统理论常用的数据生成方式有3类：
（一）累加生成（AGO）
原始数据进行累加得到的新数据与数列累加后的数列称为生成数列。记x0为原始数列：

现代水文地质学

生成数列为x（1）：

现代水文地质学

若x（1）（k）=x（0）（i）则称为一次累加生成，记为1-AGO。当α=1时，称为一般累加生成；当α是正整数时，但1＜α≤k，称为去首累加生成。
（二）累减生成（IAGO）
原始数据列中前后两个数据相减，累减是累加的逆运算。累减生成可将累加生成还原为非生成数列。

现代水文地质学

（三）映射生成
除累加与累减生成以外的其他生成方法。
四、灰色（GM）模型（GM（1，1））
首先对数据进行生成处理，使原有数据的随机性弱化。经累加生成的序列呈逐渐递增的形式，灰色理论建立模型就是要构造一个函数去逼近累加生成序列，从而达到利用原始数据序列进行预测未来的目的（邓聚龙，1987年）。
对于非负原始数据作累加生成后将呈现指数规律，因此可以考虑用微分方程的解去逼近生成数列，灰色模型的建立正是基于这一思想。
对于非负数据列：

现代水文地质学

作一次累加得：

现代水文地质学

其中：x（1）（k）=x（0）（i）。
设x（1）（t）满足一阶常微分方程

现代水文地质学

其中a，b为常系数，式（15-30）的解为：

现代水文地质学

根据式（15-31）构造迭代格式，得到预测模型为：

现代水文地质学

灰色建模的途径是依式（15-29）的序列值，用最小二乘法来计算a，b。最后求得

现代水文地质学

其中：

现代水文地质学

利用式（15-33）求得a，b值代入式（15-32）即可进行模型预报。具体在水文地质工作中，利用GM模型可以对地下水水位、降水量、水质状况等进行预报。此外，还可以用来进行灾变预测。

5. 灰色模型的基本思想

基本思想是用原始数据组成原始序列(0)，经累加生成法生成序列(1)，它可以弱化原始数据的随机性，使其呈现出较为明显的特征规律。对生成变换后的序列(1) 建立微分方程型的模型即GM模型。GM(1,1) 模型表示1阶的、1个变量的微分方程模型。GM(1,1) 模型群中，新陈代谢模型是最理想的模型。这是因为任何一个灰色系统在发展过程中，随着时间的推移，将会不断地有一些随即扰动和驱动因素进入系统，使系统的发展相继地受其影响。用GM(1,1) 模型进行预测，精度较高的仅仅是原点数据(0)(n) 以后的1到2个数据，即预测时刻越远预测的意义越弱[3]。而新陈代谢GM(1,1)模型的基本思想为越接近的数据，对未来的影响越大。也就是说，在不断补充新信息的同时，去掉意义不大的老信息，这样的建模序列更能动态地反映系统最新的特征，这实际上是一种动态预测模型。

6. 灰色模型的相关理论

灰色系统理论是中国著名学者邓聚龙教授在1982年创立的一门新兴横断学科，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和确切描述，并据以进行科学预测。　　所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

7. 灰色模型（Grey Model）

基于灰色系统理论的灰色模型GM（Grey Model）可以进行数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统综合预测。地基沉降预测是GM模型的数列预测，这种预测的特点是要求对被预测值等时距的观测[199]。
最常用的灰色预测模型是GM（1，1）模型，但 GM（1，1）模型仅适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的“S”形序列，可以考虑建立GM（2，1）模型、DGM模型、Verhulst模型等[200]。
由前述曲线拟合法预测结果可知，S 形成长曲线模型（Pearl 曲线模型）的预测效果最好，因此，本书利用可以描述饱和状态过程（S形过程）的灰色 Verhulst模型来预测淤泥软基的沉降发展趋势。灰色Verhulst模型是在德国生物学家Verhulst（1837）所建立的Verhulst模型上发展而来的。灰色Verhulst模型的建模及求解过程如下[200]。
设相同时间间隔内的沉降增量数据序列为原始序列，且原始序列S（0）为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

S（0）的一次累加生成序列（1 –AGO序列）S（1）为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

式中：  ，k=1，2，…，n。
S（1）的紧邻均值生成序列Z（1）为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

且Z（1）满足：

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

则可得灰色GM（1，1）幂模型为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

当θ=2 时的GM（1，1）幂模型即为灰色Verhulst模型，其灰色微分方程为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

灰色Verhulst模型的白化方程为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

记灰色Verhulst模型参数列为  =[a，b]T，其中-a为发展系数，b为灰色作用量，令：

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

则参数列  的最小二乘估计为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

灰色Verhulst模型之白化方程的解为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

灰色Verhulst模型的时间响应式为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

模型预估值（还原值）  为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

为了评价预估模型的可信度，必须对模型的精度进行检验，常用的检验方法有：
1）残差检验——残差检验是对模型预估值  和实测值S（0）（k）之间的残差q（k）和相对残差（误差）ε（k）进行逐点检验，其中：
残差q（k）=S（0）（k）-  ，k=1，2，…，n
相对残差（误差）  ，k=1，2，…，n
2）关联度检验——关联度检验即检验灰色模型值曲线与建模序列曲线的相似程度。
3）后验差检验——后验差检验是对残差分布的统计特征进行检验，它由后验差比值C和小误差概率P 这两个指标共同检验。
记原始数列S（0）（k）的方差为  ，残差数列q（k）中非零残差的平均值和方差分别为  和  ，则后验差比值C和小误差概率P分别为

温州浅滩软土工程特性及固结沉降规律研究

灰色模型的精度等级=max（P的级别，C的级别），P，C的级别通过查表 5.10 确定。

表5.10 灰色预估模型的精度检验