帮我区分一下：拐点，驻点，极值点

1. 帮我区分一下：拐点，驻点，极值点

1、错误。拐点两边的单调性可以是相同的，例如(0,0)是曲线y=x^3的拐点，在原点左、右，函数都是单调增加的。拐点可能是极值点（可以构造出这样的函数），也可能不是极值点（一般初等函数都是如此）。
2、错误。极值点也可能是导数不存在点；驻点处的左、右导数都等于0，极值点处的左、右导数可以不相等。
3、正确，但不是充要条件，若在该点处一、二、三阶导数都等于0，四阶导数不等于0，该点也是极值点。

2. 如何理解极值点、驻点、拐点的区别和联系？

函数的极值点、驻点和拐点这些概念很多同学和老师都容易混淆。如何正确认识极值点、驻点、拐点其主要依据是定义及相关理解，只有理解透定义域定理，进而找到他们的本质差别，才不至于混为一谈。
驻点、极值点、拐点是微积分中不能绕过的知识点，要想完全掌握必须抓住核心定义，而不是去死记硬背一些推论。理解本质才能应对千变万化的题目。
1.核心概念
驻点：是函数的一阶导数为0地点，另外驻点也称为稳定点，临界点
例如：y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，则x=0是函数y=x3地驻点
极值点：是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点(或者说当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点)
例如：y=x2，如图在x=0处，函数的单调性发生了变化，或者说x=0附近的区域，f(0)取得极小值，这两个均说明x=0是函数y=x2的极值点

备注：我们在求函数的极值时，通常令f(x)的一阶导数为0，但一阶导数为0地点不一定是极值点，例如y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，这时x=0不是函数的极值点，因为该函数在x=0处的单调性没有发生变化。
拐点：是函数二阶导数为0且三阶导数不为0地点
例如：
我们以f（x）=x3为例来看看什么是拐点，如图：在（0,0）处函数的凹凸性发生了变化，我们知道二阶导为正，原函数是凸函数，二阶导为负，原函数的凹函数。该函数是先凹后凸，因此（0,0）是函数的拐点。

备注：在拐点处，函数的凹凸性发生了改变，当二阶导数大于0，说明函数图像下凹；如果二阶导数小于0，说明函数图象上凸。
2.区别和联系
① 零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点(x0，f(x0))
② 驻点和极值点：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外，函数在它的一阶导数不存在时，也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0，具体可见下面的图像。

③ 驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。
3.内容归纳

3. 驻点、极值点和拐点

未必比如分段函数f(x)=根号x（0≤x≤1）
                    =1（x>1）
在x=1处，尽管导数值为零，但是（1，1）既不是（严格）极值点，也不是拐点
首先要明确可导函数极值充分条件
f'(x0)=0且f''（x0）不等于0
可导函数拐点充分条件
f''(x0)=0且f'''（x0）不等于0
对于你的问题，应该这样考虑
对于可导函数来说，若x0是驻点，但是不是极值点的话，可以考虑这样一种情况
f'(x0)=0，且f''（x0）=0,但我们不知道f'''（x0）是否等于0，因此不能必然的推出你的结论 

你的猜测显然是错的。不过一楼给的例子也不好，至少来说(1,1)确实是极值点，还不足以否定命题。


下面对分段函数f(x)=x^4*sin(1/x)，x不等于0
                  =0             x=0
f'(0)=0  是满足的
用理论说会比较复杂，我直接用图像来说

他的图像在 x=0的任意邻域内都会在X轴上下震荡无限次，有点类似于正弦函数  只不过它的振幅越来越小  无限趋近于0  而他又是一个奇函数  你就可以类比正弦函数来想想他的图像  显然不会是极值点   而拐点的定义是凹凸的分界点  x=0的任意邻域内  他的凹凸性质都可以改变无数次  所以，x=0也不是凹凸的分界点
也就不是拐点

4. 不是极值点的驻点一定是拐点吗？

我们先来看看驻点、极值点、拐点的充分必要条件，
①驻点：f'(x)=0
②极值点：f'(x)=0且f''(x)≠0
③拐点：f''(x)=0且f'''(x)≠0
你说不是极值的驻点，也就是f'(x)=0且f''(x)=0，看见二阶导等于0，符合了拐点的一部分条件，但是如何确定三阶导不等于0 ？万一三阶导也等于0呢，那就不是拐点了，最好的反例就是y=a 一条水平线任何一处都是驻点但不是极值点，也不是拐点

5. 什么是拐点，极值点，驻点？

一、定义不同
1、极值点：若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
2、驻点：函数的一阶导数为0地点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。
3、拐点：又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
二、性质不同
1、在驻点处的单调性可能改变，在拐点处凹凸性可能改变。
2、拐点：使函数凹凸性改变的点。
3、驻点：一阶导数为零。
三、特征不同
1、极值点不一定是驻点。如y=|x|，在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极(小)值点。
2、驻点也不一定是极值点。如y=x³，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。
3、该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

扩展资料：
1、零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点
2、驻点和极值点:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外,函数在它的一阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。
3、驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。
参考资料：百度百科-极值点
参考资料：百度百科-驻点
参考资料：百度百科-拐点

6. 不是极值点的驻点一定是拐点吗？

极值点一定是驻点吗？
对于y=f(x)，使一阶导数f'(x)=0的点是函数的驻点。
函数极值点不一定是驻点，如f(x)=|x|，在x=0
处导数不存在，当然也就不是驻点，但x=0显然是极小值点。
反之，函数的驻点但也不一定是极值点。
如f(x)=x³，f'(x)=3x²，f'(0)=0，是驻点，但不是极值点。

7. 拐点，驻点，极值点分别是点还是指坐标？

零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点。
拐点：二阶导数为零，且三阶导不为零；驻点：一阶导数为零或不存在。
极值点：若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。

扩展资料：
驻点和拐点的区别在驻点处的单调性可能改变，在拐点处单调性也可能发生改变，但凹凸性肯定改变；极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点。因为取极值不需要可导，驻点必须可导。对于可导函数，极值点必定是驻点。
可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外,函数在它的一阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。

8. 拐点，驻点，极值点分别是点还是指坐标？

拐点，驻点均是指点，而极值点则是X轴上的横坐标。
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
在微积分，驻点（Stationary Point）又称为平稳点、稳定点或临界点（Critical Point）是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。
值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反过来，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件），驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。
若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

扩展资料
函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。
“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。
拐点是导数符号发生变化的点。拐点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。例如，函数 x3在x = 0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点。
在驻点处的单调性可能改变，在拐点处凹凸性一定改变。
拐点：使函数凹凸性改变的点。
驻点：一阶导数为零。
参考资料来源：百度百科-极值点
参考资料来源：百度百科-驻点
参考资料来源：百度百科-拐点