一元二次方程怎么解

2024-05-17 09:51

1. 一元二次方程怎么解

一元二次方程四中解法。一、公式法。二、配方法。三、直接开平方法。四、因式分解法。公式法1先判断△=b_-4ac,若△0,原方程的解为:X=((-b)±√(△))/(2a)。配方法。先把常数c移到方程右边得:aX_+bX=-c。将二次项系数化为1得:X_+(b/a)X=-c/a,方程两边分别加上(b/a)的一半的平方得X_+(b/a)X+(b/(2a))_=-c/a+(b/(2a))_方程化为:(b+(2a))_=-c/a+(b/(2a))_。5①、若-c/a+(b/(2a))_0,原方程的解为X=(-b)±√((b_-4ac))/(2a)。

一元二次方程怎么解

2. 一元二次方程怎么解

1.分解因式法  (可解部分一元二次方程) 
 
  因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。 
 
  如 
 
  1.解方程:x^2+2x+1=0 
 
  解:利用完全平方公式因式解得:(x+1﹚^2=0 
 
  解得:x1= x2=-1 
 
  2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0 
 
  解:利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0 
 
  即 x-3=0 或 x+1=0 
 
  ∴ x1=3,x2=-1 
 
  3.解方程x^2-4=0 
 
  解:(x+2)(x-2)=0 
 
  x+2=0或x-2=0 
 
  ∴ x1=-2,x2= 2 
 
  十字相乘法公式: 
 
  x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 
 
  例: 
 
  1. ab+b^2+a-b- 2 
 
  =ab+a+b^2-b-2 
 
  =a(b+1)+(b-2)(b+1) 
 
  =(b+1)(a+b-2) 
2.公式法  (可解全部一元二次方程) 
  求根公式
 
  首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 
 
  1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根(初中) 
 
  2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2 
 
  3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根 
 
  当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a 
 
  来求得方程的根 
3.配方法  (可解全部一元二次方程) 
 
  如:解方程:x^2+2x-3=0 
 
  解:把常数项移项得:x^2+2x=3 
 
  等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4 
 
  因式分解得:(x+1)^2=4 
 
  解得:x1=-3,x2=1 
 
  用配方法解一元二次方程小口诀
  二次系数化为一 
 
  常数要往右边移 
 
  一次系数一半方 
 
  两边加上最相当 
4.开方法  (可解部分一元二次方程) 
 
  如:x^2-24=1 
 
  解:x^2=25 
 
  x=±5 
 
  ∴x1=5 x2=-5 
5.均值代换法  (可解部分一元二次方程) 
 
  ax^2+bx+c=0 
 
  同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0 
 
  设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m (m≥0) 
 
  根据x1*x2=c/a 
 
  求得m。 
 
  再求得x1, x2。 
 
  如:x^2-70x+825=0 
 
  均值为35,设x1=35+m,x2=35-m (m≥0) 
 
  x1*x2=825 
 
  所以m=20 
 
  所以x1=55, x2=15。 
 
  一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
  一般式:ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2关系: 
 
  x1+x2= -b/a 
 
  x1*x2=c/a 
如何选择最简单的解法  1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法) 
 
  2.看是否可以直接开方解 
 
  3.使用公式法求解 
 
  4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。 如果要参加竞赛,可按如下顺序: 
 
  1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法

3. 一元二次方程怎么解

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:   1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。   1、直接开平方法:   直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m .   例1.解方程(1)(x-2)²=9(2)9x²-24x+16=11   分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)²,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。   (1)解:(x-2)²=9   ∴x-2=±√9   ∴x-2=±3   ∴x1=3+2 x2=-3+2   ∴x1=5 x2=1   ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3   (2)解: 9x²-24x+16=11   ∴(3x-4)²=11   ∴3x-4=±√11   ∴x=﹙ 4±√11﹚/3   ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3   2.配方法:用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)   先将常数c移到方程右边:ax²+bx=-c   将二次项系数化为1:x²+b/ax=- c/a   方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x²+b/ax+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²;   方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a )²= -c/a﹢﹙b/2a﹚²;   当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²;   ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)   例2.用配方法解方程 3x²-4x-2=0   解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2   将二次项系数化为1:x²-﹙4/3﹚x= ?   方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )²   配方:(x-4/6)²= ? +(4/6 )²   直接开平方得:x-4/6=± √[? +(4/6 )² ]   ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ]   ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .   3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。   例3.用公式法解方程 2x²-8x=-5   解:将方程化为一般形式:2x²-8x+5=0   ∴a=2, b=-8, c=5   b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0   ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)   ∴原方程的解为x?=,x?= .   4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。   例4.用因式分解法解下列方程:   (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0   (3) 6x²+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)   (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得   x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)   (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)   ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。   (2)解:2x2+3x=0   x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)   ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=0,x2=-是原方程的解。   注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。   (3)解:6x2+5x-50=0   (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)   ∴2x-5=0或3x+10=0   ∴x1=, x2=- 是原方程的解。   (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)   (x-2)(x-2 )=0   ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。   小结:   一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。   直接开平方法是最基本的方法。   公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。   配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法   解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。   例5.用适当的方法解下列方程。(选学)   (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0   (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0   分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。   (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。   (3)化成一般形式后利用公式法解。   (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。   (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0   [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0   (5x-5)(-x+13)=0   5x-5=0或-x+13=0   ∴x1=1,x2=13   (2)解: x2+(2- )x+ -3=0   [x-(-3)](x-1)=0   x-(-3)=0或x-1=0   ∴x1=-3,x2=1   (3)解:x2-2 x=-   x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)   △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0   ∴x=   ∴x1=,x2=   (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0   4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0   [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0   2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0   ∴x1= ,x2=   例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)   分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)   解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0   即 (5x-5)(2x-3)=0   ∴5(x-1)(2x-3)=0   (x-1)(2x-3)=0   ∴x-1=0或2x-3=0   ∴x1=1,x2=是原方程的解。   例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0   解:x2+px+q=0可变形为   x2+px=-q (常数项移到方程右边)   x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)   (x+)2= (配方)   当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)   ∴x=- ±=   ∴x1= ,x2=   当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。   说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。   练习:   (一)用适当的方法解下列方程:   1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3   3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0   5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0   (二)解下列关于x的方程   1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0   练习参考答案:   (一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2   3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=   6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)   [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0   即 (2x+9)(2x+2)=0   ∴2x+9=0或2x+2=0   ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。   (二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0   [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0   ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0   ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是   原方程的解。 原方程的解。   测试   选择题   1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )   A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5   2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。   A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7   3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个根是( )。   A、0 B、1 C、-1 D、±1   4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。   A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0   C、b=0且c=0 D、c=0   5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。   A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5   6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。   A、 B、 C、 D、无实根   7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。   A、x= B、x=-   C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-   8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。   A、(x-)2= B、(x- )2=-   C、(x- )2= D、以上答案都不对   9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。   A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1   答案与解析   答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D   解析:   1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,   注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。   2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.   3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1时,方程成立,则必有根为x=1。   4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,   则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.   另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!   5.分析:原方程变为 x²-3x-10=0,   则(x-5)(x+2)=0   x-5=0 或x+2=0   x1=5, x2=-2.   6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。   7.分析:2x²=0.15   x2=   x=±   注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。   8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,   整理为:(x-)2=   方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。   9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1   则(x-1)2=m+1.

一元二次方程怎么解

4. 一元二次方程怎么解

有很多种解法,最万能的解法就是公式法,即
ax^2+bx+c=0(a,b,c是常数)
即可得:x=-b±(b^2-4ac)^0.5/2a
当b^2>4ac时,此方程有两个不想等的实根。
当b^2=4ac时,此方程有两个相等的实根。
当b^2<4ac时,此方程有两个共轭虚根。
对于一些特殊的一元二次方程,还有以下特殊解法:
直接开平方法,当方程中的一次项系数为0时,ax^2+c=0
可解得:x=±(c/a)^0.5
完全平方公式法(含配方法):
通过完全平方公式将方程等号左边化为ax^2+2abx+b^2的形式,等号右边留有一个常数c,使方程变为
(ax+b)^2=c
则x=(±c^0.5-b)/a
十字相乘法,当方程可化为(ax+b)(cx+d)=0的形式时,可以使用十字相乘法,此时方程解为:
x1=-a/b,x2=-c/d
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5. 怎么解2元1次方程

比如含有X Y这两个未知数。
首先,把其中一个等式X用Y的形式表示,然后,再把这个等式代入第二个等式中
例如:X+Y=1
          5X-6Y=3

把第一个等式中X=1-Y
     5*(1-Y)-6Y=3就行了

怎么解2元1次方程

6. 一元二次方程怎么解

1、该部分的知识为初等数学知识,一般在初二就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)   2、该部分是高考的热点。   3、方程的两根与方程中各数有如下关系: X1+X2= -b/a,X1·X2=c/a(也称韦达定理)   4、方程两根为x1,x2时,方程为:x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)   5、b^2-4ac>0有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0有两个相等的实数根,b^2-4ac<0无实数根。
一般式
  ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数,a≠0)   例如:x^2+2x+1=0
配方式
  (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2  
两根式
  a(x-x1)(x-x2)=0   一般解法
1.因式分解法
  (可解部分一元二次方程)   因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。   如   1.解方程:x^2+2x+1=0   解:利用完全平方公式因式解得:(x+1﹚^2=0   解得:x₁= x₂=-1   2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0   解:利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0   即 x-3=0 或 x+1=0   ∴ x₁=3,x₂=-1   3.解方程x^2-4=0   解:(x+2)(x-2)=0   x+2=0或x-2=0   ∴ x₁=-2,x₂= 2   十字相乘法公式:   x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)   例:   1. ab+b^2+a-b- 2   =ab+a+b^2-b-2   =a(b+1)+(b-2)(b+1)   =(b+1)(a+b-2)
2.公式法
  (可解全部一元二次方程)   首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根   1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根   当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a   来求得方程的根
3.配方法
  (可解全部一元二次方程)   如:解方程:x^2+2x-3=0   解:把常数项移项得:x^2+2x=3   等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4   因式分解得:(x+1)^2=4   解得:x₁=-3,x₂=1   用配方法解一元二次方程小口诀   二次系数化为一   常数要往右边移   一次系数一半方   两边加上最相当
4.开方法
  (可解部分一元二次方程)   如:x^2-24=1   解:x^2=25   x=±5   ∴x₁=5 x₂=-5
5.均值代换法
  (可解部分一元二次方程)   ax^2+bx+c=0   同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0   设x₁=-b/(2a)+m,x₂=-b/(2a)-m (m≥0)   根据x₁x₂=c/a   求得m。   再求得x₁、 x₂。   如:x^2-70x+825=0   均值为35,设x₁=35+m,x₂=35-m (m≥0)   x₁x₂=825   所以m=20   所以x₁=55, x₂=15。   一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)   一般式:ax^2+bx+c=0的两个根x₁和x₂的关系:   x₁+x₂= -b/a   x₁x₂=c/a
如何选择最简单的解法
  1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)   2.看是否可以直接开方解   3.使用公式法求解   4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。 如果要参加竞赛,可按如下顺序:   1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法

7. 2元1次方程怎么解

方法一:代入法,可以根据一式算出x=多少,或者y=多少,然后带入到二式,把x或者把y变成一式的,如果是2x就要把x=一式打上括号,变成2(一式x=多少)解出一个y的一元一次方程,求出y再带入原式解出一个x就可以了
方法二:加减消元法,一式二式同时相加,同时相减消掉一个x或者一个y,解出一个未知数,再带入到随便一个式子去求出另一个未知数。

2元1次方程怎么解

8. 一元2次方程怎么解

因式分解法利用平方差公式A^2-B^2=(A=B)(A-B) 
完全平方公式(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 
(A-B)^2=A^2-2AB+B^2 
把方程公式化 
公式法 
(可解全部一元二次方程)   
 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根   
  1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根 
2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2 
  3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根   
 当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式: 
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a   
 来求得方程的根 
配方法 
这个要有点因式分解的基础 
就是等式两边同时加减一个数使得一边的等式可通过完全平方或者平方差公式化简 
如:解方程:x^2+2x-3=0 
  解:把常数项移项得:x^2+2x=3   
 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4 
  因式分解得:(x+1)^2=4 
  解得:x1=-3,x2=1 
根与系数的关系(以下两个公式(韦达定理)很重要,经常在考试中运用到) 
  一般式:ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2的关系:   
 x1+x2= -b/a   
 x1*x2=c/a
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