什么是协方差矩阵

1. 什么是协方差矩阵

在统计学与概率论中,，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。 　　假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k个元素的期望值, 即, μk = E(Xk), 协方差矩阵然后被定义为： 　　Σ=E{(X-E[X])(X-E[X])T}=(如图) 　　矩阵中的第(i,j)个元素是Xi与Xj的协方差. 这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广

2. 协方差矩阵有什么意义

1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素Cij就是反映的随机变量Xi,Xj的协方差。 

2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 

3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。

 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。

3. 协方差矩阵

a的协方差矩阵就是E(aa')。其中E代表数学期望，a'代表a的转置。我这里默认你这个a是写成列向量的形式的。
所以a/||a||的协方差矩阵就是E(aa')/||a||^2，就是把a的协方差矩阵里的每个元素都除以||a||^2。
当a的协方差矩阵是单位阵时，a的任意一个元素（都是随机变量）的方差都是1，而且任意两个元素不相关（不相关不代表独立）。

4. 协方差矩阵有什么意义

在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度来看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。
协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，但协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算个协方差，那自然而然我们会想到使用协方差矩阵来组织这些数据。

5. 协方差矩阵

用matlab算：
a=[-1.54    -5.93    -258.1    -3.5    2.26    0.13];
cov(a)

ans =
1.0963e+004
或者：
a=[-1.54    -5.93    -258.1  ;  -3.5    2.26    0.13];
 cov(a)

ans =
  1.0e+004 *
    0.0002   -0.0008   -0.0253
   -0.0008    0.0034    0.1057
   -0.0253    0.1057    3.3341
或者：
 a=[-1.54    -5.93  ;  -258.1    -3.5 ;   2.26    0.13]
 cov(a)

ans =
  1.0e+004 *
    2.2271    0.0057
    0.0057    0.0009

6. 协方差的矩阵

分别为m与n个标量元素的列向量随机变量X与Y，这两个变量之间的协方差定义为m×n矩阵.其中X包含变量X1.X2......Xm,Y包含变量Y1.Y2......Yn,假设X1的期望值为μ1，Y2的期望值为v2，那么在协方差矩阵中（1,2）的元素就是X1和Y2的协方差。两个向量变量的协方差Cov(X,Y)与Cov(Y,X)互为转置矩阵。协方差有时也称为是两个随机

7. 协方差矩阵有什么意义

在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度来看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。
协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，但协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算个协方差，那自然而然我们会想到使用协方差矩阵来组织这些数据。

8. 协方差矩阵

 在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性，两个随机变量Xi和Yj的协方差定义为
                                           所以
                                           是一个矩阵，其  i ,  j  位置的元素是第  i  个与第  j  个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。   设X1，X2，...,Xn为一组随机变量，记X=(X1，X2，...,Xn)T为由这n个随机变量构成的随机向量，假设每个随机变量有m个样本，将所有的样本拼接在一起可以得到如下的 样本矩阵 
                                           协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。因此样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。 但是 peghoty 博客中用的是矩阵第i行元素表示第i个随机变量Xi的m个样本 ，所以以下分析暂时用的peghoty的方案。
   引入向量αi和βi
                                           αi是样本矩阵的行向量，βi是样本矩阵的列向量，所以样本矩阵表示为
                                           对于n维的随机变量X=(X1,X2,…,Xn)T的协方差矩阵定义为
   
                                           
    协方差矩阵中的对角线元素表示方差，非对角线元素表示随机向量X的不同随机量之间的协方差 ，因此协方差矩阵可以作为 刻画不同分量之间相关性的一个评判量 ，不同分量之间的相关性越小，则C的非对角线元素的值就越小，特别地，如果不同分量彼此不相关，那么C就变成一个 对角阵 。    注意：我们并不能得到协方差矩阵C的真实性，只能根据所提供的X的样本数据，对其进行近似估计，因此，这样计算得到的协方差矩阵是依赖于样本数据的，通常提供的样本数目越多（m越大），样本在总体中的覆盖面就越广，所得协方差矩阵就越可靠。 
   **协方差公式推导