在三角形ABC中，sin（C-A）=1,sinB=1/3.求sinA的值

1. 在三角形ABC中，sin（C-A）=1,sinB=1/3.求sinA的值

1、sin(C-A)=1,
c-A=90°,
C=90°+A,
sinB=sin(180°-A-C)=sin(A+C)=sin(90°+2A)=sin(180°-90°-2A)
=sin(90°-2A)=cos2A=1/3,
sinA=√[(1-cos2A)/2]=√3/3.
2、sinC=sin(90°+A)=cosA=√[1-(sinA)^2]=√6/3,
根据正弦定理，c/sinC=b/sinB,
c=[√6/(1/3)]√6/3=6,
S△ABC=AB*AC*sinA/2=6*√6*√3/3/2=3√2.

2. 在三角形中，sinA+根号2sinB=2sinC,则cosC的最小值

答：
三角形ABC中：
sinA+√2sinB=2sinC
根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：
a+√2b=2c
两边平方：
a^2+2√2ab+2b^2=4c^2=4(a^2+b^2-2abcosC)
3a^2+2b^2-(8cosC)*ab-2√2ab=0
3a^2+2b^2=2(4cosC+√2)ab>=2*(√3a)*(√2b)=2√6(ab)
所以：4cosC+√2>=√6
所以：cosC>=(√6-√2)/4
所以：cosC的最小值为(√6-√2)/4

3. 在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC (1)求角A的值 (2)求根号3sinB-cosC的最大值

1、根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴(a+b+c)(b+c-a)=3bc
即b²+c²+2bc-a²=3bc
∴b²+c²-a²=bc
又∵根据余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA
∴2cosA=1，即cosA=1/2
∴A=π/3
2、√3*sinB-cosC
  =√3*sin[π-(A+C)]-cosC
  =√3*sin(A+C)-cosC
  =√3sinAcosC+√3cosAsinC-cosC
  =3/2*cosC+√3/2*sinC-cosC
  =1/2*cosC+√3/2*sinC
  =sin(C+π/6)
∵A+B+C=π，A=π/3
∴0<C＜2π/3
∴π/6<C+π/6＜5π/6
则1/2＜sin(C+π/6)≤1
即√3*sinB-CosC的最大值为1

4. 在三角形ABC中，已知（sinA+sinB+sinc)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,a<b,acosA+bcosB=ccosC,求三角形ABC...

（sinA+sinB+sinc)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB
由正弦定理化成边得
a²+2ab+b²-c²=3ab
c²=a²-ab+b²
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(ab)/(2ab)=1/2
C=π/3
acosA+bcosB=ccosC
sinAcosA+sinBcosB=(1/2)sinC
(1/2)(sin2A+sin2B)=(1/2)sinC
2sin(A+B)cos(A-B)=sinC
cos(A-B)=1/2
因a<b故A<B
所以A-B=-π/3
因A+B=2π/3
解得A=π/6      B=π/2

5. 在三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC大于2

题目应该是在锐角三角形中。
诚如是，则解答如下：
先证明sinA+sinB>1+cosC。
由A、B是锐角得A-Bcos(C/2)。又sin[(A+B)/2]=cos(C/2)，所以sinA+sinB-(1+cosC)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-2cos²(C/2)=2cos(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(C/2)}>0，所以sinA+sinB>1+cosC。
所以sinA+sinB+sinC>1+cosC+sinC=1+√2sin(C+π/4)。
C是锐角，所以π/4√2/2，1+√2sin(C+π/4)>2。结论成立。

6. 在三角形ABC中，已知sinA^2+sinC^2=sinB^2+sinAsinC，2a=(1+根号3），求A，B，C的值

∵sinA^2+sinC^2=sinB^2+sinAsinC
根据正弦定理：
a^2+c^2=b^2+ac
a^2+c^2-b^2=ac
cosC=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2
∵C∈(0,π)∴C=2π/3
∵2a=(1+√3)b （这里按题理应该有b)
∴2sinA=(1+√3)sinB
2sin(2π/3-B)=(1+√3)sinB
√3cosB+sinB=(1+√3)sinB
   sinB=cosB
  tanB=1,∴B=π/4
   A=2π/3-π/4=5π/12
∴A=5π/12,B=π/4,C=π/3

7. 在三角形ABC中，求证（1）sinA^2+sinB^2-sinC^2=2sinAsinBcosC (2)sinA+sinB-sinC

证明：（1）
左式=sin²A+sin²B-sin²(180-A-B)
=sin²A+sin²B-sin²(A+B)
=sin²A+sin²B-(sinAcosB+cosAsinB)²
=sin²A-sin²Acos²B+sin²B-cos²Asin²B-2sinAcosBcosAsinB
=sin²A(1-cos²B)+sin²B(1-cos²A)-2sinAcosAsinBcosB
=2sin²Asin²B-2sinAcosAsinBcosB
右式=2sinAsinBcos(180-A-B)
=-2sinAsinBcos(A+B)
=-2sinAsinB(cosAcosB-sinAsinB)
=2sin²Asin²B-2sinAcosAsinBcosB
因为左式=右式
所以等式成立
还需要证明，请追问

8. 在三角形ABC中，已知(sinA+sin+B+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3,a<b,且acosA+bcosB=ccosC，求三角形各内角大小

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