数学建模----用差分方程求解养老基金问题的论文

1. 数学建模----用差分方程求解养老基金问题的论文

当他60退休时退休金有120328.4817
约10年后用完（120.328月）

Texas Instruments 计算器 BAII PLUS
N=360
I/Y=0.01
PV=-10000
PMT=-300
CPT
FV
FV=120328.4817

2. 差分方程属于哪个范畴，是数学建模（因为有个差分方程

种群相互依存问题1问题的提出一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存。在适当假设下建立三者关系的模型，求其平衡点。2模型的假设假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。3符号的约定t：时间；)(1tx：表示植物在时刻t的数量；)(2tx：表示哺乳动物在时刻t的数量；)(3tx：表示食肉爬行动物在时刻t的数量；1r：表示植物的固有增长率；1：反映了哺乳动物消耗植物的能力；2r：哺乳动物的死亡率；2：反映了植物对哺乳动物的供养能力；：反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力；3r：表示食肉爬行动物的死亡率；3：反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。4模型的建立与求解4.1Volterra基本模型的建立设)(),(),(321txtxtx分别表示植物、哺乳动物和食肉爬行动物在时刻t的数量。1r为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是植物数量的模型满足)()(21111xrxdttdx(1)比例系数1反映了哺乳动物消耗植物的能力。哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为2r，则哺乳动物独自存在时有222)(xrdttdx(2)而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，于是哺乳动物数量模型满足)()(312222xxrxdttdx(3)其中比例系数2反映了植物对哺乳动物的供养能力，反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力。食肉爬行动物离开动物无法生存，设其死亡率为3r，则食肉爬行动物独自存在时有333)(xrdttdx(4)而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是(4)式右端应加上哺乳动物对食肉爬行动物的增长作用，设为3，于是有)()(23333xrxdttdx(5)比例系数3反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。综上所述，建立如下微分方程组模型)()()()()()(2333331222221111xrxdttdxxxrxdttdxxrxdttdx(6)4.2Volterra基本模型的求解4.2.1数值解记植物、哺乳动物和食肉爬行动物的初始数量分别为303202101)0(,)0(,)0(xxxxxx(7)为求微分方程组及初始条件(7)的解，设，利用MATLAB软件求其数值解，可得)(),(),(321txtxtx的图像及相轨线。见图1。图1)(),(),(321txtxtx关系图及相轨线图从图1中可以看出，)(),(),(321txtxtx是周期函数，相轨线是封闭曲线，从数值解近似定出周期为6.25，用数值积分可以算出)(),(),(321txtxtx在一个周期的平均值11,13,71321xxx。4.2.2平衡点这是一个非线性模型，不能求其解析解。所以通过平衡点的稳定性分析，研究)(),(),(321txtxtx的变化规律，求得微分方程组的平衡点为)0,,(),0,0,0(112221rrPP当然，平衡解)0,0,0(1P对我们来说是没有意义的。尽管该模型可以解释一些现象，但是多数生态系统观察不到Volterra基本模型显示的那种周期震荡，而是趋向某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。一些生态学家认为，自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振幅。程序functionf=fun1(t,x);r1=1;r2=0.5;r3=0.6;a1=0.1;a2=0.02;a3=0.06;b=0.1;f=[x(1)*(r1-a1*x(2));x(2)*(-r2+a2*x(1)-b*x(3));x(3)*(-r3+a3*x(2))];clc,clearts=0:0.1:20;x0=[100,40,6];[t,x]=ode45('fun1',ts,x0);subplot(1,2,1)plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),t,x(:,3));grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),gtext('x3(t)');gridsubplot(1,2,2)plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))grid

3. 在数学建模中对差分方程而言求解不动点可能有什么意义和用途？

不动点表明了问题可能的出发点或者结束点

4. 数学建模之差分方程方法建模

种群相互依存问题
 
1 
问题的提出
 
一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，
又长着茂盛的植物。
爬行动物
以哺乳动物为食物，
哺乳动物又依赖植物生存。
在适当假设下建立三者关系的模
型，求其平衡点。
 
2 
模型的假设
 
假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。
 
3 
符号的约定
  
t
：时间；
 
)
(
1
t
x
：表示植物在时刻
t
的数量；
 
)
(
2
t
x
：表示哺乳动物在时刻
t
的数量；
 
)
(
3
t
x
：表示食肉爬行动物在时刻
t
的数量；
 
1
r
：表示植物的固有增长率；
 
1

：反映了哺乳动物消耗植物的能力；
 
2
r
：哺乳动物的死亡率；
 
2

：反映了植物对哺乳动物的供养能力；
 

：反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力；
 
3
r
：表示食肉爬行动物的死亡率；
 
3

：反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。
 
4
模型的建立与求解
 
4.1 Volterra
基本模型的建立
 
设
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
分别表示植物、
哺乳动物和食肉爬行动物在时刻
t
的数量。
1
r
为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度
与捕食者数量成正比，于是植物数量的模型满足
 
)
(
)
(
2
1
1
1
1
x
r
x
dt
t
dx



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
比例系数
1

反映了哺乳动物消耗植物的能力。
 
哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为
2
r
，则哺乳动物独自存在时有
 
2
2
2
)
(
x
r
dt
t
dx


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) 
而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，
但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数
量减少，
设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，
于是哺乳动物数量模型满足
 
)
(
)
(
3
1
2
2
2
2
x
x
r
x
dt
t
dx






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
其中比例系数
2

反映了植物对哺乳动物的供养能力，

反映了食肉爬行动物掠
取哺乳动物的能力。
 
食肉爬行动物离开动物无法生存，
设其死亡率为
3
r
，
则食肉爬行动物独自存


 
 
在时有
 
3
3
3
)
(
x
r
dt
t
dx


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) 
而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是
(4)
式右端应加上哺乳动
物对食肉爬行动物的增长作用，设为
3

，于是有
 
)
(
)
(
2
3
3
3
3
x
r
x
dt
t
dx




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5) 
比例系数
3

反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。
 
综上所述，建立如下微分方程组模型
 


















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
3
3
3
3
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
r
x
dt
t
dx
x
x
r
x
dt
t
dx
x
r
x
dt
t
dx




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6) 
4.2 Volterra
基本模型的求解
 
4.2.1 
数值解
 
记植物、哺乳动物和食肉爬行动物的初始数量分别为
 
30
3
20
2
10
1
)
0
(
,
)
0
(
,
)
0
(
x
x
x
x
x
x



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7) 
为求微分方程组及初始条件
(7)
的解，设，利用
MATLAB
软件求其数值解，可得
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
的图像及相轨线。见图
1
。
 
 
图
1 
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
关系图及相轨线图
 
从图
1
中可以看出，
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
是周期函数，相轨线是封闭曲线，
从数值解近似定出周期为
6.25
，
用数值积分可以算出
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
在一个
周期的平均值
11
,
13
,
71
3
2
1



x
x
x
。
 
4.2.2 
平衡点
 
这是一个非线性模型，
不能求其解析解。
所以通过平衡点的稳定性分析，
研


 
 
究
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
的变化规律，求得微分方程组的平衡点为
 
)
0
,
,
(
),
0
,
0
,
0
(
1
1
2
2
2
1


r
r
P
P
 
当然，平衡解
)
0
,
0
,
0
(
1
P
对我们来说是没有意义的。尽管该模型可以解释一些
现象，但是多数生态系统观察不到
Volterra
基本模型显示的那种周期震荡，而
是趋向某种平衡状态，
即系统存在稳定平衡点。
一些生态学家认为，
自然界里长
期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，
即系统受到不可避免的
干扰而偏离原来的周期轨道后，
其内部制约作用会使系统自动回复原状，
如恢复
原有的周期和振幅。
 
 
程序
 
function
 f=fun1(t,x);
 
r1=1;r2=0.5;r3=0.6;
 
a1=0.1;a2=0.02;a3=0.06;b=0.1;
 
f=[x(1)*(r1-a1*x(2));x(2)*(-r2+a2*x(1)-b*x(3));x(3)*(-r3+a3*x(2))]; 
 
clc,clear
 
ts=0:0.1:20;
 
x0=[100,40,6];
 
[t,x]=ode45(
'fun1'
,ts,x0);
 
subplot(1,2,1)
 
plot(t,x(:,1),
'r-'
,t,x(:,2),t,x(:,3));
 
grid,gtext(
'x1(t)'
),gtext(
'x2(t)'
),gtext(
'x3(t)'
);
 
grid
 
subplot(1,2,2)
 
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
 
grid

5. 数学建模问题

数学建模B题一 洁具流水时间设计 

我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。 
某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。 
方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。 
方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。 
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表： 

时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18 
人次 1 5 12 60 13 6 3 

（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； 
（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。 

其实，家庭中的其他生活用水一样可以用来冲洗马桶，比方说经过最后一次漂洗，衣服洗干净了，从洗衣机排出的水看上去还比较干净，直接流进下水管还真有点可惜。还有像洗完脸、洗过菜的水，如果能再次利用就好了。业余发明家吴汉平研制了一套生活用水回用装置，获得了国家专利。他将厨房的洗涤槽、卫生间的面盆和坐便器水箱连接到一个储水箱上。洗涤槽、面盆流出来的比较干净的水进入储水箱，供冲厕使用。 

现在我来教你省水小秘方1.要用省水形马桶，般审型马桶加装2段式冲水配件。2.水箱底下浮饼拆下 即成无段式控制出水。 
3.小便池自动冲水器冲水时间调短。 4.用米水、洗衣水、洗碗水及洗澡水等清水来浇花、洗车，及擦洗地板。5.清理地毯法由湿式或蒸汽式改成乾燥粉沫式。6.将除湿机收集的水，及纯水机、蒸馏水机等净水设备的废水回收再利用。 
现在我说完了6项省水秘方，你是否想到比我更好的省水方法呢？你是否在省水呢？我想你应该在省水吧！ 

长期以来，人们普遍认为水是“取之不尽，用之不竭”的，不知道爱惜，而浪费挥霍。事实上，水资源日益紧缺，而我市的城市供水工作更是在严重缺水的边缘艰难度日，自来水来之不易。 

人不可一日无水，水是生命之源，珍惜水就是珍惜自己的生命！在此，我们介绍一些日常生活中的节水常识： 

刷牙 

浪费：不间断放水，30秒，用水约6升。 

节水：口杯接水，3口杯，用水0．6升。三口之家每日两次，每月可节水486升。 

洗衣 

浪费：洗衣机不间断地边注水边冲洗、排水的洗衣方式，每次需用水约165升。 

节水：洗衣机采用洗涤—脱水—注水—脱水—注水—脱水方式洗涤，每次用水110升，每次可节水55升，每月洗4次，可节水220升。 

另外，衣物集中洗涤，可减少洗衣次数；小件、少量衣物提倡手洗，可节约大量水；洗涤剂过量投放将浪费大量水。 

洗浴 

浪费：过长时间不间断放水冲淋，会浪费大量水。 

盆浴时放水过多，以至溢出，或盆浴时一边打开水塞，一边注水，浪费将十分惊人。 

节水：间断放水淋浴（比如脚踏式、感应式等）。搓洗时应及时关水。避免过长时间冲淋。 

盆浴后的水可用于洗衣、洗车、冲洗厕所、拖地等。 

炊事 

浪费：水龙头大开，长时间冲洗。烧开水时间过长，水蒸汽大量蒸发。用自来水冲淋蔬菜、水果。 

节水：炊具食具上的油污，先用纸擦除，再洗涤，可节水。 

控制水龙头流量，改不间断冲洗为间断冲洗。 

洗车 

浪费：用水管冲洗，20分钟，用水约240升。 

节水：用水桶盛水洗车，需3桶水，用水约30升。使用洗涤水、洗衣水洗车。使用节水喷雾水枪冲洗。利用机械自动洗车，洗车水处理循环使用。 

节水小方法： 
节约用水，利在当代，功在千秋，这是经过讨论同学们一起研究出一些生活节水小方法： 
一、淘米水洗菜，再用清水清洗，不仅节约了水，还有效地清除了蔬菜上的残存农药； 
二、洗衣水洗拖帕、帚地板、再冲厕所。第二道清洗衣物的洗衣水擦门窗及家具、洗鞋袜等； 
三、大、小便后冲洗厕所，尽量不开大水管冲洗，而充分利用使用过的“脏水”； 
四、夏天给室内外地面洒水降温，尽量不用清水，而用洗衣之后的洗衣水； 
五、自行车、家用小轿车清洁时，不用水冲，改用湿布擦，太脏的地方，也宜用洗衣物过后的余水冲洗； 
六、冲厕所：如果您使用节水型设备，每次可节水4一5kg； 
七、家庭浇花，宜用淘米水、茶水、洗衣水等； 
八、家庭洗涤手巾、小对象、瓜果等少量用水。宜用盆子盛水而不宜开水龙头放水冲洗； 
九、洗地板：用拖把擦洗，可比用水龙头冲洗每次每户可节水200kg以上； 
十、水龙头使用时间长有漏水现象，可用装青霉素的小药瓶的橡胶盖剪一个与原来一样的垫圈放进去，可以保证滴水不漏； 
十一、将卫生间里水箱的浮球向下调整2厘米，每次冲洗可节省水近3kg；按家庭每天使用四次算，一年可节药水4380kg。 
十二、洗菜：一盆一盆地洗，不要开着水龙头冲，一餐饭可节省50kg； 
十三、淋浴：如果您关掉龙头擦香皂，洗一次澡可节水60kg； 
十四、手洗衣服：如果用洗衣盆洗、清衣服则每次洗、清衣比开着水龙头节省水200kg； 
十五、用洗衣机洗衣服：建议您满桶再洗，若分开两次洗，则多耗水120kg； 
十六、洗车：用抹布擦洗比用水龙头冲洗，至少每次可节水400kg；

6. 数学建模和数学模型是一样的吗？

不一样的！ 
数学建模是使用数学模型解决实际问题

数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。

7. 差分方程属于哪个范畴,是数学建模（因为有个差分方程模型），还是离散数学方向？

组合数学里面的递推关系。

8. 数模是什么