设Σ是z=1上x^2+y^2<=1部分上侧,计算下列第二类曲面积分

1. 设Σ是z=1上x^2+y^2<=1部分上侧,计算下列第二类曲面积分

第二问，
化成二重积分并用柱面坐标计算，
∑在xoy面的投影区域D：xx+yy《1，
原式=∫∫〔D〕xx*1dxdy
=∫〔0到2π〕dt∫〔0到1〕rrrcostcostdr
=(1/4)∫〔0到2π〕【1+cos2t】dt/2
=(1/8)*2π
=π/4。

2. 第一类曲面积分计算∫∫(ax+by+cz)dS,其中∑:x^2+y^2+z^2=2zR

x^2+y^2+(z-R)^2=R^2
设u=z-R
那么积分曲面变成了x^2+y^2+u^2=R^2
所以根据对称性∫∫xds=∫∫yds=∫∫uds=0

原积分=∫∫(ax+by+c(u+R))ds=cR∫∫ds=cR(πR^2)=πcR^3

3. 第一类曲面积分计算∫∫(ax+by+cz)dS,其中∑:x^2+y^2+z^2=2zR

4. 第一类曲面积分计算∫∫(ax+by+cz)dS,其中∑:x^2+y^2+z^2=2zR

x^2+y^2+(z-R)^2=R^2
设u=z-R
那么积分曲面变成了x^2+y^2+u^2=R^2
所以根据对称性∫∫xds=∫∫yds=∫∫uds=0
原积分=∫∫(ax+by+c(u+R))ds=cR∫∫ds=cR(πR^2)=πcR^3

5. 计算曲面积分∫∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中S是介于平面z=0及z=H之间的圆柱面x^2+y^2=R^2.(第一类曲面积分计

是∑不是S吧。

6. 计算下列对面积的曲面积分，计算∫∫(x+y+z)dS，S为球面x^2+y^2+z^2=a^2上a>h

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7. 将第二类曲面积分∫∫Σxdydz+ydxdz+zdxdy化为第一类曲面积分并计算其值，其中Σ为曲面

如图所示：

8. 曲面积分∫∫(x^2＋ y^2 ＋z^2)dS 范围为球面x^2＋ y^2 ＋z^2=2az的上半部分

将第一类曲面积分按步骤转为二重积分即可