求解一个偏微分方程

1. 求解一个偏微分方程

科普中国·科学百科：偏微分方程

2. 求解偏微分方程

这是典型的热传导方程，可以用经典的分离变量法来求解：
令u(x,t)=f(x)g(t)，那么代入原方程得到：
fg`=f``g
不妨记f``/f=g`/g=-λ，得到两个微分方程：
f``+λf=0
g`+λg=0
并注意边界条件：
u(0,t)=f(0)g(t)=0，即f(0)=0
u`(1,t)=f`(1)g(t)=0，即f`(1)=0………………注意若g(t)等于0则有平凡解u=0，舍去；
将此两个条件代入f的方程就能解出一个f的特解：
特征方程r²+λ=0
当λ小于或等于0时，f的非零解（两个指数函数的和）无法满足边界条件；当λ大于0时，f的形式为两个三角函数，代入边界条件分析λ应满足cos√λ=0，所以λ=(2n-1)²π²/4（对应每个正整数n，共有无穷多个），每个λ又对应一个解，所以最后关于x的通解是n个解的和；
在没有其它关于g的条件时方程的通解就是这个特解乘以关于t的任意函数。

题目的后两问就是添加关于t的边界条件从而解出g的方法（特别注意要把λ代入g的方程），解法就是经典的一阶微分方程的解法，留给题主自行解决。最后再把关于x和t的解乘起来就OK了！

网页书写比较麻烦，请参考《数理方程》中有关分离变量法的部分。

3. 一个简单的偏微分方程求解

4. 偏微分方程求解

偏微分方程求解：
1、核心思想是利用迭加原理求得微分方程足够数目的特解（基本解组），再作这些特解的线性组合，使满足给定的初始条件。
2、假定可分离变量的非平凡解的特解u(x,t)=X(x)T(t)并要求它满足齐次边界条件u(x,0)=0，u(x,π)=0。
3、分离变量后，得到T"(t)+λa^2T(t)=0  X"(t)+λX(t)=0。
4、求解X(x)的通解。

5、确定待定系数λ。
6、得到Uk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)的特解。
7、根据初始条件，利用傅里叶级数确定Ak和Bk（即题目中的A1，A2）。
8、将Ak和Bk代入u(x,t)中，就得到偏微分方程以级数形式表示的解。

偏微分方程是厦门大学建设的慕课、国家精品在线开放课程，该课程于2017年3月1日在中国大学MOOC首次开设，授课教师为谭忠。据2021年7月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课9次。
该课程共8章，包括引言：从音乐审美到揭秘量子纠缠；典型偏微分方程模型的建立；偏微分方程的基本概念、形成的数学问题与分类；高维波动方程的Cauchy问题；能量方法、极值原理与格林函数法等章目。

5. 偏微分方程求解

科普中国·科学百科：偏微分方程

6. 偏微分方程求解

其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
扩展资料
偏微分方程示例
二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。
这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。
近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。
对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。
另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。

7. 求解偏微分方程

F（x）=（x+1）（x^2n-2 +x^2n-4 +……+x^2+1）
后面的都是x的偶次幂,+1后恒正,
所以必为虚根不过应该是（2n-2）个虚根吧

8. 求解偏微分方程

解； 对x求导：4y^3+10xy^6+z 对y求导：12xy^2+30x^2y^5 对z求导：x 所以 du=(4y^3+10xy^6+z)dx+(12xy^2+30x^2y^5)dy+xdz