求牛吃草问题详解

1. 求牛吃草问题详解

例题1：一个牧场，可供10头牛吃20天、15头牛吃10天，可供多少头牛吃4天？
　　方法一：将“牛吃草问题”想象成一个非常理想化的数学模型：假设总的N牛当中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样草场相当于不长草，永远维持原来的草量，也就成为了一个简单的消耗性问题了，而剩下的(N－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。便可以根据几次“顾客”牛的数量*时间这个量相等，也就是牧场原本的一地草量相等来列方程。   
　　例题解析：设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天，N头牛可吃4天(后面所有X均为此意)
　　可供10头牛吃20天，  列式：(10－X)*20
　　即：(10－X)头牛20天把草场吃完
　　可供15头牛吃10天，  列式：(15－X)*10
　　即：(15－X)头牛9天把草场吃完
　　可供几头牛吃4天？    列式：(N－X)*4
　　即：(N－X)头牛4天把草场吃完
　　因为草场草量新长出的草已被“剪草工”修理掉，而牧场中原有草量相同，所以，联立上面三个式子
　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10＝(N－X)*4
　　左右两边各为一个方程，即：
　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10  【1】
　　(15－X)*10＝(N－X)*4     【2】
　　解这个方程组，得  X＝5(头)    N＝30(头)
　　方法二：将“牛吃草问题”与工程问题当中的干扰问题相结合。例如：工程问题中有这样一类题目：
　　例题2：(2003年国家B类第11题)一个浴缸放满水需要30分钟，排光一浴缸水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟(   )
　　A.65                B.75                C.85                 D.95
　　题目当中叙述了一缸水有一个进水管和一个出水管同时打开，而进行把一个浴缸放满水的效果，进水管的效率大于出水管的效率，也就是两个水管同时工作的总效率为：进水管工作效率-出水管工作效率。我们假设工程总量为1，于是进水的效率为1/30，出水的效率为1/50。那么根据工作总量=工作效率*工作时间可以列出如下方程：(1/30-1/50)*t=1。解方程便可以得知同时开放两个水管把浴缸放满要75分钟。此题当中是一个进水管做正功，一个出水管做负功，最后达到将一个空浴缸放满水的效果这样一类问题的方法可以总结为(进水效率-出水效率)*时间=一个浴缸的水。而牛吃草问题与之类似，只是牛吃草问题是牧场原有一地草，经过了牛吃和长草两个同时进行的过程后，一地草消失了。与给浴缸放水问题的差异是，浴缸放水问题进水效率大于出水效率，最后达到空缸变满缸的效果。而牛吃草问题，吃草效率大于长草效率，最后达到了满地草变成空地的效率。于是可以找出与浴缸放水类似的等量关系：(牛吃草的效率-草地长草的效率)*时间=一个牧场的草。而此时就需要我们假设一头牛一天只吃一棵草，那么牛吃草的效率在数量上便可以等价于牛的数量，于是该等量关系变成：(牛的数量-草地长草效率)*时间=一个牧场草。而其中“草地长草效率”和“一个牧场的草”两个概念都是未知量，我们分别把它们设为X和Y,根据题目当中的条件，可以列出下列方程：
　　(10－X)*20＝Y  【1】
　　(15－X)*10＝Y  【2】
　　解这个方程组，得  X＝5(头)    Y＝100(棵)
　　再假设草地上的草N牛可吃4天，可以列出下面一个方程：
　　(N－5)*4 ＝100，解方程得：N=30(头)
　　我们发现用两种方法求解，其分析过程不同和假设的关系不同，但最后列出的方程其实是同样的形式。在实际授课中发现后一种方法学生接受起来更加容易一些，而且这种方法较易推广。

2. 牛吃草问题，求解

3. 牛吃草问题:

解决牛吃草问题，只需要记住一个等式即可：
原来的草量+草变化的量=牛吃的草量
那么，根据题目描述得：
1，原来的草量+6周长出的草量=27头牛6周吃的草量
即：原来的草量+6周长出的草量=162头牛1周吃的草量
2，原来的草量+9周长出的草量=23头牛9周吃的草量
即：原来的草量+9周长出的草量=207头牛1周吃的草量
3，原来的草量+8周长出的草量=N头牛8周吃的草量
即：原来的草量+8周长出的草量=8N牛1周吃的草量。
2-1得：3周长出的草量=45头牛1周吃的草量
那么，1周长出的草量=15头牛1周吃的草量。
原来的草量=162头牛1周吃的草量-90头牛1周吃的草量=72头牛1周吃的草量。
带入3得：72头牛1周吃的草量+120头牛1周吃的草量=8N头1周吃的草量
即：192=8N
N=24。
即可供24头牛吃8周。

4. 牛吃草问题:

公务员考试行测数量关系题，牛吃草问题的题型及解法：
追及型牛吃草问题：一个量使原有草量变大，一个量使原有草量变小。
公式：原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草)*天数。
相遇型牛吃草问题：两个量都使原有草量变小。
公式：原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天减少的草量)*天数。
极值型牛吃草问题：在同一草场放不同的数量的牛有不同种吃法，求为了保持草永远都吃不完，那么最多能放几头牛。
公式：利用原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草)×天数，求出草的生长速度，最多的牛的头数=x。
多个草场牛吃草问题：在不同一草场放不同的牛数有不同种吃法，其中每头牛每天吃的草量和草每天生长的量都不变。
公式：通过最小公倍数寻找多个草场的面积的“最小公倍数”，再将所有面积都转化为“最小公倍数”同时对牛的头数进行相应的变化，转化成原有草量相同的标准的牛吃草问题。
标准的牛吃草问题：在同一草场放不同的数量的牛有不同种吃法，求牛的头数或天数。
公式：原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草)×天数。
一般设每头牛每天吃的草量为单位1，草的生长速度为X，牛的头数为N,天数为T。即，原有草量=(N-X)*t.
若备考公务员考试行测，或考虑：妙解行测 （行测解题技巧）

5. 求牛吃草问题详解

牛吃草问题”主要有两种类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。
②已知天数求知数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据“（原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。
加点分呀！！都打的呀~~期望——盼望！

6. 求解答牛吃草问题

（3*10-5*5）÷（5-3）=2.5
5*5+5*2.5=37.5
3*10+3*2.5=37.5
（37.5-1*2.5）÷1=35

7. 牛吃草问题，求解

公顷草可供11头牛吃10天，我们可以推出30公顷草可以供66头牛吃10天。同样第二块6公顷可供12头牛吃14天，即可以认为30公顷可供60头吃14天。 


设1头牛1周吃一个单位的草，所以在（14-10）天内草场上的增长量是60*14-66*10=180个单位，所以1天草场的增长量为180/4=45个单位。由此算出30公顷的草场上原来有66*10-10*45=210个单位的草。 


从而有8公顷的草场上原来有210*（8/30）=56个单位的草，8公顷的草场1天草地增量为45*（8/30）=12个单位。 

8公顷的草场上可供19头牛吃：56/（19-12）=8天

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8. 牛吃草问题的解法

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

  基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

  关键问题：确定两个不变的量。

  基本公式：

  生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

  总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 




牛吃草问题常用到四个基本公式：
    牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 
    （1）草的生长速度＝ 对应的牛头数吃的较多天数－相应的牛头数吃的较少天数（吃的较多天数－吃的较少天数）； 
   （2）原有草量＝牛头数吃的天数－草的生长速度吃的天数；` 
   （3）吃的天数＝原有草量（牛头数－草的生长速度）； 
   （4）牛头数＝原有草量吃的天数＋草的生长速度。 
     这四个公式是解决消长问题的基础。 
     由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。