专题1：等腰三角形性质定理1等边对等角

1. 专题1：等腰三角形性质定理1等边对等角

2. 等腰直角三角形的定义定理性质

概念
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是：

（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

（3）等腰直角三角形三边比例为

。

性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为

。

等腰直角三角形的判定
方法一：

根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。

方法二：

三边比例为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。

方法三：

底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。

方法四：

有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

证明同方法三。

方法五：

直角边和斜边的比例为

的直角三角形是等腰直角三角形。

证明：根据勾股定理求出另一条直角边也是1，利用方法二判定。或根据反三角函数求出直角边所对角为45°，利用方法四判定。

方法六：

有一个角是45°，并且这个角两边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：根据馀弦定理可求出第三边长为1，利用方法二判定。

方法七：

有一个角是45°，并且这个角所对的边和它的一条边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：和方法六不同，如果长度为1的边不是45°角的邻边而是对边，则根据正弦定理求出长度为√2的边所对角为90°，再利用方法四判定。

特殊等腰直角三角形

斜边相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面积和周长最大。

解:首先证明面积最大的是它

将等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径。(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)

由三线合一可知O和F重合，且易证OC>C'F'(根据垂径定理和直径是最长的弦得到)。

而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面积公式

可知等腰Rt△ABC面积最大。

其次解:证明周长最大的还是它

延长BC到E,使CE=CA.延长BC'到D,使C'D=C'A.连接DE,AD,AE.

∵AC'⊥BD,AC⊥BE

∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形

∴∠AEB=∠ADB=45°

∵D,E在线段AB同侧

∴ABED四点共圆

∵AC=BC=CE

∴∠EAB=90°(直角三角形斜边中线定理逆定理)

∴∠EDB=90°

∴BE>BD

又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.

∴AC+CB>AC'+C'B.

∵Rt△ACB周长=AB+(AC+CB).

Rt△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).

∴等腰Rt△ABC周长最大。

3. 求等边三角形等腰三角形直角三角形全等三角形的性质与判定

一、等边三角形
性质：
1、三边都相等；
2、三个角都相等，并且每一个角都等于60°；
 
判定：
1、三条边都相等的三角形是等边三角形；
2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二、等腰三角形
性质：
1、等腰三角形的两个底角相等；
2、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。
判定：
1、有两边相等的三角形是等腰三角形；
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形；
三、直角三角形
性质：
1、两直角边的平方和等于斜边的平方；
2、两锐角互余；
3、斜边上的中线等于斜边的一半；
4、30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。

判定：
1、有一个角是90°的三角形是直角三角形；
2、如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
3、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

四、全等三角形
性质：
全等三角形的对应角相等，对应边相等。

判定：
1、三边对应相等的两个三角形全等；
2、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
4、两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；

4. 等腰三角形的判定、性质 等边三角形的判定、性质

推论1
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论
2
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
性质:
1三边相等
2三个角都相等
3三个角都等于60°
4高线
腰
底边中线三线合一
理解等边三角形的性质与判定.
首先明确等边三角形定义.三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形.
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系.等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形.
等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质,结合定义更特殊）
1）等边三角形的内角都相等,且为60度
2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
3）等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

5. 等腰三角形的判定、性质 等边三角形的判定、性质

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 
推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
性质:
1三边相等
2三个角都相等
3三个角都等于60°
4高线 腰 底边中线三线合一
理解等边三角形的性质与判定.
首先明确等边三角形定义.三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形.
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系.等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形.
等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质,结合定义更特殊） 
1）等边三角形的内角都相等,且为60度 
2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） 
3）等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 
等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形） 
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） 
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

6. 等腰直角三角形有哪些性质定理和判定方法？

等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等）。
因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。



判定
方法一：
根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：
三边比例为的三角形是等腰直角三角形。
证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：
有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

7. 等腰直角三角形三边关系定理(等腰直角三角形三边关系)

您好,我就为大家解答关于等腰直角三角形三边关系定理，等腰直角三角形三边关系相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！1、也是...    
  您好,我就为大家解答关于等腰直角三角形三边关系定理，等腰直角三角形三边关系相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！
  1、也是根号2！。

8. 求等边三角形等腰三角形直角三角形全等三角形的性质与判定

一、等边三角形
性质：
1、三边都相等；
2、三个角都相等，并且每一个角都等于60°；
判定：
1、三条边都相等的三角形是等边三角形；
2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、等腰三角形
性质：
1、等腰三角形的两个底角相等；
2、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。
判定：
1、有两边相等的三角形是等腰三角形；
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形；
三、直角三角形
性质：
1、两直角边的平方和等于斜边的平方；
2、两锐角互余；
3、斜边上的中线等于斜边的一半；
4、30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。
判定：
1、有一个角是90°的三角形是直角三角形；
2、如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
3、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
四、全等三角形
性质：
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
判定：
1、三边对应相等的两个三角形全等；
2、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
4、两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；