1. 斐波那契数列的公式是什么
斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式:
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一:利用特征方程
线性递推数列的特征方程为:
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二:普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得:
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
2. 斐那波契数列
斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
起源
1202年数学家菲波那契提出了一个著名的兔子问题:假定一对兔子从第三个月起逐月生一对一雌一雄的小兔,每对小兔在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔,…。问一年之后兔房里共有多少对兔子? 菲波那契是这样来考虑的:设第n个月后兔房里的兔子数为an对,这an应由以下两部分组成:一部分是第n﹣1个月时已经在兔房里的兔子,它们有an﹣1对;另一部分是第n个月中新出世的,而这部分应有第n﹣2个月时兔房里的兔子所生,有a n﹣2对。 ∴有递推关系式(An+1)=(An)+(An-1)(n∈N且n>2),且易知A1=A2 =1。由这个递推关系式可以得到一年后的兔子对数A12=141。这也是递推方法应用的一个最著名的例子。 按照如上的递推,菲波拉契数列前几项如下: 1 1 2 3 5 8 13 21…… 从数学上,该数列也是可以推导出通项公式的,其通项公式推导如下: (An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An),然后移项,得到下式: (An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项,((1-√5)/2)为公比的等比数列 即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 两边同时除以((1+√5)/2)^n,得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 其中,(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 依次递归,得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 将Bn带入,化简,得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) (注√表示根号) 该数列有以下几个性质: 1.随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割比 2.从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 3.如果任意挑两个数为起始,按照菲波拉契数列的形势递推下去,随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割比,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值(菲波拉契数列的推广)。
3. 斐波那契数列怎么计算
递归法:
F(1)=0,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N)
公式法:
4. 斐波那契数列怎么算???
它的通项公式是 Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
并不是所有的数列都可以求。
但是Fibanocci数列是可以求通项公式的。
a(n+2)=a(n+1)+an
如果能做到:
a(n+2)-ka(n+1)=q(a(n+1)-kan)就好办了。
这应该没问题的,待定系数求k,q
斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
通项是两个等比数通项之差.
求和公式就是两个等比数列求和公式之差
5. 类斐波那契数列
原斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……
即第三项及以后的项等于前两项之和,(an+2)=(an+1)+(an),类似的有:
①1,2,3,5,8,13,…
②5,9,14,23,37,……
③61,72,133,205,……
④15,-8,7,-1,6,5,11,……
⑤-3,-6,-9,-15,-24,-39,……
望采纳,谢谢!
6. 斐波那契数列的公式是什么?
这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定:
F0=0,F1=1
Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)
它的通项公式是 Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
补充问题:
菲波那契数列指的是这样一个数列:
1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和
它的通项公式为:[(1+√5)/2]^n /√5 - [(1-√5)/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。
该数列有很多奇妙的属性
比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了菲波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值
仅供参考。
7. 斐波那契数列
斐波纳契数列(Fibonacci Sequence),又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊,专门刊载这方面的研究成果。
http://baike.baidu.com/view/816.html?wtp=tt
8. 斐波那契数列
斐波那契数列的通项公式是很眼花。。。不过重要的不是它的通项公式,是怎样解得它的通项公式
对于递推公式为ax(n+2)=bx(n+1)+cxn来说(这里的数列是x,n+2、n+1和n都是下标),令x(n+2)=
k^2,x(n+1)=k,x=1,解一元二次方程ak^2-bk-c=0,得到的k1和k2就是通项公式的重要组成部分,一般来说这种数列的通项公式是k1^(某个用n表示的数)+k2^(某个用n表示的数)
注:x^y是x的y次方
到了高中就讲斐波那契数列了