在三角形ABC中，角C等于90°，AC等于BC，角BAC的角平分线AD交BC于点D，DE垂直于AB，垂足为E，若AB等于12cm

1. 在三角形ABC中，角C等于90°，AC等于BC，角BAC的角平分线AD交BC于点D，DE垂直于AB，垂足为E，若AB等于12cm

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理由：三角形周长为bd+de+be
    ad为角平分线，de垂直于ab，dc垂直于ac----由角平分线或全等三角形相关定理可知：    de=cd，ac=ae  
已知：ac=bc  有bc=ae    
故周长=bd+cd+be=bc+be=ae+be=ab
 不会传图 自己画一下就会明白的

2. 在三角形ABC中，角A等于60度，BD垂直AC，CE垂直AB，垂足分别为D、E，说明DE等于二分之一BC成立的理由。

证明：因为   BD垂直于AC，垂足为D，
      所以   角ADB=90度，三角形ABD是直角坐标三角形，
      因为   角A=60度，
      所以   角ABD=30度，
      所以   AD=AB/2，AD/AB=1/2，
      同理： AE/AC=1/2，
      所以   AD/AB=AE/AC，
    又因为   角A是公共角，
      所以   三角形AEF相似于三角形ACB，
      所以   DE/BC=AD/AB=1/2，
      所以   DE=1/2BC。

3. 在三角形ABC中，<C=60度,AD,BE分别是BC,AC边上的高,求证1.三角形DCE~三角形ACB。2.DE=1/2AB

证明：由题意可知：
在Rt△ACD中，∠C=60°，∠ADC=90°，则CD=AC/2
同理在Rt△BCE中，∠C=60°，∠BEC=90°，则EC=BC/2
所以CD：AC=EC：BC=1：2
又∠C是公共角
则三角形DCE~三角形ACB   （SAS）
所以：DE：AB＝CD：AC＝1：2
即DE=1/2 *AB

4. 已知：在三角形ABC中，角C等于90度，点D,E分别在边AB,AC上，DE平行BC,DE=3,BC

(1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD/AB=DE/BC=3/9=1/3
 
（2）∵AD/AB=AD/(AD+BD)=1/3，DB=10
∴AD/(AD+10)=1/3
∴AD=5，AB=15
又∵∠C=90°，
∴sinA=BC/AB=9/15=3/5

5. 在三角形ABC中,角A=60度，BD,CE分别是AC,AB上的高，F是BC上的中点。连结DE,DF。若AB不等于AC，三角形DEF还

由EF是直角△BCE斜边BC的中线，
∴BC=2EF。
同理：DF是直角△BCD斜边BC的中线，
∴BC=2DF，
得EF=DF（1）
由∠FEC=∠FCE，∠FDB=∠FBD，
∴∠FEC+∠FDB=∠FCE+∠FBD，
而∠FCE+∠FBD=∠BOE=60°（O是BD，CE交点）
在四边形AEFD中：
∠EFD=360-60-90-90-60=60°，
即△DEF是等边三角形。

6. 已知三角形ABC是等边三角形，点D是BC边上(除B,C外)任意一点，角ADE等于60度，且DE交三

在AB上取一点G，使BD = BG。
因为角B = 60度，因此三角形DGB为直角三角形，BD = BG = DG，切外角AGD = 120度
=> CD = BC - BD = AB - BG = AG
CE为外角ACF的平分线，因此角ECF = 角ACE = 60度 => 角ECD = 角ACE + 角ACD = 120度 = 角AGD
三角形ADB外角ADC = 角1 + 60度 = 角2 + 60度，因此角1 = 角2
因为 角1 = 角2，角ECD = 角AGD，CD = AG，因此三角形AGD与三角形DCE全等，所以AD = DE

7. 在三角形ABC中，角C=90度，D是AC上一点，DE垂直AB于E，若AB=10，BC=6，DE=2，求四边形DEBC的面积。

这里要用到两个三角形相似，对应边成比例的定理。由题易知 三角形AED 相似于 三角形ACB ,所以AE比AC等于ED比CB。又AB=10，BC=6，角C=90度，由勾股定理得AC=8。及AE/8=2/6，所以AE=8/3。所以现在就可以求面积啦，四边形DEBC的面积=三角形ACB的面积-三角形ADE的面积，及四边形DEBC的面积=8*6/2-2*8/3/2=64/3

8. 在三角形ABC中，C是BD上的一点，且AC垂直BD，AC=BC=CD，求证三角形ABD是等腰三角形，求证角BAD的度数

因为：AC丄BD
所以：∠ACB=∠ACD=90°
又因为：AC=BC=CD
所以:△ABC全等于△ADC  
所以：AB=AD
所以:△ABD是等腰三角形

因为：AC丄BD
所以：∠ACB=∠ACD=90°
又因为：AC=BC=CD
所以:△ABC全等于△ADC ，且他们都是等腰直角三角形
所以：∠CAB=∠CBA=∠CDA=∠CAD=45°
所以：∠BAD=∠CAB+∠CAD=90°